Question

4．求满足等式x$\sqrt{y}$+y$\sqrt{x}$-$\sqrt{2003x}$-$\sqrt{2003y}$+$\sqrt{2003xy}$=2003的正整数对（x，y）的个数．

Answer 1

分析 先将已知等式变形，（$\sqrt{xy}$-$\sqrt{2003}$）（$\sqrt{x}$+$\sqrt{y}$+$\sqrt{2003}$）=0，由$\sqrt{x}$+$\sqrt{y}$+$\sqrt{2003}$＞0，则$\sqrt{xy}$-$\sqrt{2003}$=0，从而求得x，y的正整数对的个数．

解答 解：由x$\sqrt{y}$+y$\sqrt{x}$-$\sqrt{2003x}$-$\sqrt{2003y}$+$\sqrt{2003xy}$=2003可得：
（$\sqrt{xy}$-$\sqrt{2003}$）（$\sqrt{x}$+$\sqrt{y}$+$\sqrt{2003}$）=0，
∵$\sqrt{x}$+$\sqrt{y}$+$\sqrt{2003}$＞0，
∴$\sqrt{xy}$-$\sqrt{2003}$=0，
故xy=2003，
又∵2003是质数，
∴必有$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2003}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=2003}\\{y=1}\end{array}\right.$．
故正整数对（x，y）的个数是2．

点评 本题考查了质数和合数，以及二次根式的混合运算，是一道综合题难度较大．