Question

在平面直角坐标系xOy中，边长为a的正方形（a为大于0的常数）ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点0），顶点C、D都在第一象限，当点P到x轴的最大距离为3

2

时，此时a的值为（　　）

• A、4
• B、5
• C、6
• D、

  2

Answer 1

考点：正方形的性质,坐标与图形性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：过P点作x轴和y轴的垂线，可通过三角形全等，证明点P在∠AOB的角平分线上，再根据P到x轴的最大距离为3

2

即可得出a的值．

解答：解：作PE⊥x轴交x轴于E点，作PF⊥y轴交y轴于F点，
∵∠FPB+∠FPA=90°，∠EPA+∠FPA=90°，
∴∠FPB=∠EPA，
∵∠PFB=∠PEA，BP=AP，
∴△PBF≌△PAE，
∴PE=PF，
∴点P都在∠AOB的平分线上．
∵OA=OD时点P到y轴的距离最大，此时PE与AP重合，PB与PF重合，
∴a=

PA2+PB2

=

(3 2 )2+(3 2 )2

=

36

=6．
故选C．

点评：本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，根据题意作出辅助线构造出全等三角形是解题的关键．