题目内容
14．定义：y是一个关于x的函数，若对于每个实数x，函数y的值为三数x+2，2x+1，-5x+20中的最小值，则函数y叫做这三数的最小值函数．（1）画出这个最小值函数的图象，并判断点A（1，3）是否为这个最小值函数图象上的点；
（2）设这个最小值函数图象的最高点为B，点A（1，3），动点M（m，m）．
①直接写出△ABM的面积，其面积是2；
②若以M为圆心的圆经过A，B两点，写出点M的坐标；
③以②中的点M为圆心，以$\sqrt{2}$为半径作圆．在此圆上找一点P，使PA+$\frac{\sqrt{2}}{2}$PB的值最小，直接写出此最小值．
附：下列知识可直接应用：
1、中点公式：已知A（x₁，y₁）与 B（x₂，y₂），则线段AB的中点M的坐标为：M （ $\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$ ）
2、如果两条直线y=k1x+m，和y=k2x+n垂直，则k1•k2=-1．
分析 （1）根据三数的最小值函数的定义画出图象即可，根据图象可以判断点A的位置．
（2）①如图2中，作ON⊥AB于N，由AB∥OM，得S△ABM=S△ABO由此即可判断．
②求出线段AB的中垂线，再列出方程组即可解决问题．
③取MB的中点D，P为圆上任意一点，PM=$\sqrt{2}$，MB=2，MD=1，可证△MPD∽△MBP，则PA+$\frac{\sqrt{2}}{2}$PB 最小也就是PA+PD最小，求出AD的值即可．
解答 解：（1）最小值函数的图象见图中实线，
∵x=1时，y=3，
∴点A（1，3）在这个最小值函数的图象上．
（2）①如图2中，作ON⊥AB于N．
∵AB∥OM，
∴S△ABM=S△ABO，
∵A91，3），B（3，5），ON=$\sqrt{2}$，AB=2$\sqrt{2}$
∴S△ABM=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=2．
故答案为：2．
②∵直线AB的解析式为y=x+2，
∴线段AB的中垂线的解析式为y=y=-x+6，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+6}\\{y=x}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴点M坐标为（3，3）；
③PA+$\frac{\sqrt{2}}{2}$PB的最小值为$\sqrt{5}$，理由如下：
如图，A（1，3）B（3，5），M（3，3），
取MB的中点D，P为圆上任意一点，PM=$\sqrt{2}$，MB=2，MD=1，可证△MPD∽△MBP，
可得PD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PB，则PA+$\frac{\sqrt{2}}{2}$PB 最小也就是PA+PD最小，所以连接AD，线段AD的长是所求的最小值，最小值为$\sqrt{5}$．
点评 本题考查圆的综合题、一次函数、平行线的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形，学会转化的思想，属于中考压轴题．
名师指导期末冲刺卷系列答案
如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=2，AD=1，AA1=2，P是棱A1B1上任意一点，Q是侧面对角线AB1上一点，则PD1+PQ的最小值是（ ）| A． | 3 | B． | $\frac{3\sqrt{2}}{2}$ | C． | $\sqrt{5}$ | D． | 1+$\sqrt{2}$ |
用字母表示图中阴影部分的面积：5.5xy．