Question

15．如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．
（1）证明：PC=PE；
（2）求∠CPE的度数；
（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=116°时，则∠EPC=64°．

Answer 1

分析 （1）先利用正方形的性质得，BA=BC，∠ABD=∠CBD=45°，则根据“SAS”可判定△ABP≌△CBP，所以PA=PC，于是得到PC=PE；
（2）利用△ABP≌△CBP得到∠PAB=∠PCB，根据等角的余角相等得到∠PAD=∠PCD，再利用PA=PE得到∠PAE=∠E，所以∠PCD=∠E，然后利用三角形内角和定理得到∠CPF=∠EDF=90°，
（3）根据菱形的性质得到BA=BC，∠ABD=∠CBD=58°，∠ADC=∠ABC=116°，则∠EDC=64°，与（2）同样的方法证明∠CPF=∠EDF=64°．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴BA=BC，∠ABD=∠CBD=45°，
在△ABP和△CBP中
$\left\{\begin{array}{l}{BA=BC}\\{∠ABP=∠CBP}\\{BP=BP}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△CBP，
∴PA=PC，
∵PA=PE，
∴PC=PE；
（2）解：∵△ABP≌△CBP，
∴∠PAB=∠PCB，
∴∠PAD=∠PCD，
∵PA=PE，
∴∠PAE=∠E，
∴∠PCD=∠E，
而∠DFE=∠PFC，
∴∠CPF=∠EDF=90°，
（3）∵四边形ABCD为菱形，
∴BA=BC，∠ABD=∠CBD=58°，∠ADC=∠ABC=116°，
∴∠EDC=64°，
在△ABP和△CBP中
$\left\{\begin{array}{l}{BA=BC}\\{∠ABP=∠CBP}\\{BP=BP}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△CBP，
∴PA=PC，∠PAB=∠PCB，
∴∠PAD=∠PCP，
∵PA=PE，
∴∠PAD=∠PEA，
∴∠PCD=∠PED
而∠DFE=∠PFC，
∴∠CPF=∠EDF=64°．
故答案为64°．

点评 本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．