Question

如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，-1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3）。

（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；
（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和△PAC的最大面积。

Answer 1

解：（1）设抛物线为 ∵抛物线经过点A（0，3） ∴ ∴ ∴抛物线为。 （2）l与⊙C相交 当时，， ∴B为（2，0），C为（6，0） ∴ 设⊙C与BD相切于点E，连接， 则 ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵抛物线对称轴l为 ∴点C到l的距离为2 ∴抛物线的对称轴l与⊙C相交。
（3）如图，过点P作平行于y轴的直线AC交于点Q 可求出AC的解析式为 设点P的坐标为（m，） 设点Q的坐标为（m，） ∴ ∵ ∴当时，的面积最大为 此时，P点坐标为（3，）。