Question

【题目】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6cm，CD=4cm，BC=BD=10cm，点P由B出发沿BD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s，交BD于Q，连接PE，若设运动时间为t（s）（0＜t＜5），解答下列问题：

（1）当t为何值时，PE∥AB；

（2）设△PEQ的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻t，使？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；

（4）连接PF，在上述运动过程中，五边形PFCDE的面积是否发生变化？说明理由

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）1或4；（4）不会发生变化，理由见解析.

【解析】试题分析：（1）若要PE∥AB，则应有DE:DA=DP:DB，故用t表示DE和DP后，代入上式求得t的值；

（2）过B作BM⊥CD，交CD于M，过P作PN⊥EF，交EF于N．由题意知，四边形CDEF是平行四边形，可证得△DEQ∽△BCD，得到DE:BC=EQ:CD，求得EQ的值，再由△PNQ∽△BMD，得到PQ:BD=PN:BM，求得PN的值，利用S△PEQ=EQPN得到y与t之间的函数关系式；

（3）利用建立方程，求得t的值；

（4）易得△PDE≌△FBP，故有S五边形PFCDE=S△PDE+S四边形PFCD=S△FBP+S四边形PFCD=S△BCD，即五边形的面积不变．

解：(1)当PE∥AB时，

∴DE:DA=DP:DB.

而DE=t，DP=10t，

∴t:6=(10t):10，

∴t=，

∴当t= (s),PE∥AB.

(2)∵线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动，

∴EF平行且等于CD，

∴四边形CDEF是平行四边形。

∴∠DEQ=∠C，∠DQE=∠BDC.

∵BC=BD=10，

∴△DEQ∽△BCD.

∴DE:BC=EQ:CD.

t:10=EQ:4.

∴EQ=t.

过B作BM⊥CD，交CD于M，过P作PN⊥EF，交EF于N，

∵BC=BD，BM⊥CD，CD=4cm，

∴CM=CD=2cm，

∴BM=cm，

∵EF∥CD，

∴∠BQF=∠BDC，∠BFG=∠BCD，

又∵BD=BC，

∴∠BDC=∠BCD，

∴∠BQF=∠BFG，

∵ED∥BC，

∴∠DEQ=∠QFB，

又∵∠EQD=∠BQF，

∴∠DEQ=∠DQE，

∴DE=DQ，

∴ED=DQ=BP=t，

∴PQ=102t.

又∵△PNQ∽△BMD，

∴PQ:BD=PN:BM.

∴(102t):10=PN: .

∴PN= (1).

∴S△PEQ=EQPN=×× (1) .

(3)S△BCD=CDBM=×4×=

若S△PEQ=S△BCD，

则有 ，

解得t1=1,t2=4.

(4)在△PDE和△FBP中，

∵DE=BP=t，PD=BF=10t，∠PDE=∠FBP，

∴△PDE≌△FBP(SAS).

∴S五边形PFCDE=S△PDE+S四边形PFCD=S△FBP+S四边形PFCD=S△BCD=.

∴在运动过程中，五边形PFCDE的面积不变.