Question

如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C。

（1）求点A、B的坐标；

（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；

（3）若直线l过点E（4，0），M为直线l上一动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l解析式。

 

Answer 1

解：（1）令y=0，则，解得，

        ∴A（-4，0），B（2，0）      

（2）∵抛物线的对称轴为x＝－1，与y轴交点C的坐标为（0，3）

     ∴直线AC的解析式为，且当x＝－1时，有

     ∴直线AC与对称轴x＝－1的交点坐标为（－1，）

     ∵AB＝6，CO＝3

     ∴△ACB的面积为：＝9   

     不妨设点D的坐标为（－1，a），当点D位于AC上方时，，

∴△ACD的面积为：＝9；解方程得：

当点D位于AC下方时，，

∴△ACD的面积为：＝9；解方程得：-

∴点D的坐标为或     

（3）如下图，以AB为直径作⊙P，当且仅当直线l与⊙P相切时符合题意，

∵Rt△PME中，∠PME＝90°，PM＝3，PE＝5，

∴由勾股定理可得：=4；利用三角形相似可以求得点M的坐标    

设直线l的解析式为：，代入、E（4，0）可得方程组

；解方程组得：

∴直线l的解析式为：      

同理可得：直线l的另一个解析式为：