Question

如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90°． 

（1）求ED、EC的长； 

（2）若BP＝2，求CQ的长； 

（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长． 

Answer 1

 （1）在Rt△ABC中， AB＝6，AC＝8，所以BC＝10． 在Rt△CDE中，CD＝5

，所以．（2分）

（2）如图2，过点D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为M、N，那么DM、DN是△ABC的两条中位线，DM＝4，DN＝3．  由∠PDQ＝90°，∠MDN＝90°，可得∠PDM＝∠QDN．

因此△PDM∽△QDN．所以

   

①如图3，当BP＝2，P在BM上时，PM＝1．

此时  所以

 ②如图4，当BP＝2，P在MB的延长线上时，PM＝5．

此时     （4分）

（3）如图5，如图2，在Rt△PDQ中，．

在Rt△ABC中， ．所以∠QPD＝∠C． 由∠PDQ＝90°，∠CDE＝90°，可得∠PDF＝∠CDQ． 因此△PDF∽△CDQ．  当△PDF是等腰三角形时，△CDQ也是等腰三角形．  ①如图5，当CQ＝CD＝5时，QN＝CQ－CN＝5－4＝1（如图3所示）．

此时

．所以BP=BM-PM=． ②如图6，当QC＝QD

时，由cosC= ,

所以QN＝CN－CQ=（如图2所示） ．

此时．所以．  ③不存在DP＝DF的情况．这是因为∠DFP≥∠DQP＞∠DPQ（如图5，图6所示）．（6分）