题目内容

已知α，β是关于x的方程x2+px+q=0的两个不相等的实数根，且α2+αβ+β2=3．求证：q＜1．
分析：根据一元二次方程的根与系数的关系求得两根之和α+β=-p，两根之积α•β=q；然后将其代入已知的等式α2+αβ+β2=（α+β）2-αβ列出关于p、q的方程；最后根据根的判别式证明q的取值范围．
解答：证明：依题意得：
α+β=-p
αβ=q
-------------（2分）
α2+αβ+β2=（α+β）2-αβ=3-------------（3分）
即  q=p2-3p2=q+3（1）-------------（4分）
∵方程有两个不相等的实数根∴△=p2-4q＞0（2）-------------（5分）
由（1）（2）得：q＜1．-------------（6分）
点评：本题考查了根与系数的关系以及根的判别式．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
练习册系列答案
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已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2-（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足x1+x2=m2，则m的值是（　　）
A、-1B、3C、3或-1D、-3或1
已知a、b是关于x的方程x2-（2k+1）x+k（k+1）=0的两个实数根，则a2+b2的最小值是
 
．
已知a、b是关于x的一元二次方程kx2+2（k-3）x+k+3=0的两个实数根，其中k为非负整数，点A（a，b）是一次函数y=（k-2）x+m与反比例函数y=
nx
的图象的交点，且m、n为常数．
（1）求k的值；
（2）求一次函数与反比例函数的解析式．
（2013•南通一模）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2-2x-1=0的两个实数根，则
x
2
1
+
x
2
2
-x1x2=
7
7
．
阅读下列材料，并解答问题：
在一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，如果b2-4ac≥0时，那
么它的两个根是x1=
-b+
b2-4ac
2a
，x2=
-b-
b2-4ac
2a
所以x1+x2=
(-b+
b2-4ac
)+(-b-
b2-4ac
)
2a
=
-2b
2a
=-
b
a
x1x2=
(-b+
b2-4ac
)•(-b-
b2-4ac
)
2a•2a
=
b2-(b2-4ac)
4a2
=
c
a
．
由此可见，一元二次方程的两根的和、两根的积是由一元二次方程的系数a、b、c确定的．运用上述关系解答下列问题：
（1）已知一元二次方程2x2-6x-1=0的两个根分别为x1、x2，则x1+x2=
3
3
，x1x2=
-
1
2
-
1
2
，
1
x1
+
1
x2
=
-6
-6
．
（2）已知x1、x2是关于x的方程x2-x+a=0的两个实数根，且
x
2
1
+
x
2
2
=7，求a的值．

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