Question

如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB=∠DCE．
（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若tan∠ACB=，BC=2，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接OE．欲证直线CE与⊙O相切，只需证明∠CEO=90°，即OE⊥CE即可；
（2）在直角三角形ABC中，根据三角函数的定义可以求得AB=，然后根据勾股定理求得AC=，同理知DE=1；
方法一、在Rt△COE中，利用勾股定理可以求得CO²=OE²+CE²，即=r²+3，从而易得r的值；
方法二、过点O作OM⊥AE于点M，在Rt△AMO中，根据三角函数的定义可以求得r的值．
解答：解：（1）直线CE与⊙O相切．…（1分）
理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC∥AD，∠ACB=∠DAC；
又∵∠ACB=∠DCE，
∴∠DAC=∠DCE；
连接OE，则∠DAC=∠AEO=∠DCE；
∵∠DCE+∠DEC=90°
∴∠AE0+∠DEC=90°
∴∠OEC=90°，即OE⊥CE．
又OE是⊙O的半径，
∴直线CE与⊙O相切．…（5分）

（2）∵tan∠ACB==，BC=2，
∴AB=BC•tan∠ACB=，
∴AC=；
又∵∠ACB=∠DCE，
∴tan∠DCE=tan∠ACB=，
∴DE=DC•tan∠DCE=1；
方法一：在Rt△CDE中，CE==，
连接OE，设⊙O的半径为r，则在Rt△COE中，CO²=OE²+CE²，即=r²+3  
解得：r=
方法二：AE=AD-DE=1，过点O作OM⊥AE于点M，则AM=AE=
在Rt△AMO中，OA==÷=…（9分）
点评：本题考查了圆的综合题：圆的切线垂直于过切点的半径；利用勾股定理计算线段的长．