Question

【题目】阅读理解：

如图，在平面直角坐标系xOy中，点A与点B的坐标分别是，．

对于坐标平面内的一点P，给出如下定义：如果，则称点P为线段AB的“等角点”显然，线段AB的“等角点”有无数个，且A、B、P三点共圆．

设A、B、P三点所在圆的圆心为C，直接写出点C的坐标和的半径；

轴正半轴上是否有线段AB的“等角点”？如果有，求出“等角点”的坐标；如果没有，请说明理由；

当点P在y轴正半轴上运动时，是否有最大值？如果有，说明此时最大的理由，并求出点P的坐标；如果没有请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）①或，半径为，②，．（2）

【解析】分析：

（1）①如下图1，连接BC、AC，则由“圆周角定理”可知∠ACB=2∠APB=90°，过点C作CH⊥AB于点H，则由已知条件根据“垂径定理”可得AH=BH=CH=3，从而可得OH=OA+AH=4，由此即可得到点C的坐标为（-4，3）或（-4，-3）；此时在Rt△ACH中由勾股定理可求得的半径为 ；②如下图2，当点C的坐标为（-4，3）时，过点C作CD⊥y轴于点D，则由CD=4<可知，此时C和y轴有交点，设交点为P1和P2，连接CP1和CP2，利用勾股定理求得DP1和DP2的长度即可求得P1和P2的坐标了；

（2）如下图3，当过A，B的圆与y轴相切于点P时，∠最大，设此时圆心为E，则E在第三象限，在y轴的正半轴上任意取一点不与点P重合，连接MA，MB，PA，PB，设MB交E于点N，连接NA，则由“圆周角定理”和“三角形外角的性质”易得∠APB=∠ANB>∠AMB，从而说明此时∠APB最大；再过点E作EF⊥x轴于点F，连接EA、EP，易证四边形OPEF是矩形，由此可得PE=OF=4，再Rt△AEF中，由勾股定理可得EF=，从而可得OP=，由此即可得到此时点P的坐标为.

详解：

（1）①如图1，

在x轴的上方，作以AB为斜边的直角三角形ACB，易知点A，B，P在上，连接CA，CB，过点C作轴于点H，

∵，

∴，

∴，，

∴，

由垂径定理可得，，

∴，，

所以，半径为，

由对称性可知，点也满足条件．

②轴的正半轴上存在线段AB的“等角点”．

如图2所示，

当圆心为时，过点C作轴于点D，则，，

∵的半径为，

∴与y轴相交，

设交点为，，连接，，CA，则，

∵轴，，，

∴，

∴，．

当过A，B的圆与y轴相切于点P时，最大．

理由如下：如果点P在y轴的正半轴上，如图3，

设此时圆心为E，则E在第三象限，在y轴的正半轴上任意取一点不与点P重合，

连接MA，MB，PA，PB，设MB交于点N，连接NA，

∵点P、点N在上，

∴，

∵是的外角，

∴，即，

此时，过点E作轴于点F，连接EA，EP，则，，

∵与y轴相切于点P，则轴，

∴四边形OPEF是矩形，，，

∴的半径为4，即，

∴在中，，

∴，

∴