Question

如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2，3)、B(6，3)，连结AB. 如果点P
在直线y＝x－1上，且点P到直线AB的距离小于1，那么称点P是线段AB的“邻近点”．
（1）判断点Ｃ(， ) 是否是线段AB的“邻近点”，并说明理由；
（2）若点Q (m，n)是线段AB的“邻近点”，求m的取值范围．

Answer 1

（1）是，理由见解析（2）3＜m＜5

解：（1）点Ｃ(，) 是线段AB的“邻近点”。理由如下：
∵－1＝，∴点Ｃ(，)在直线y＝x－1上.。
∵点A的纵坐标与点B的纵坐标相同，∴ AB∥x轴。
∴Ｃ(，) 到线段AB的距离是3－＝。
∵＜1，∴Ｃ(，)是线段AB的“邻近点”。
（2）∵点Q(m，n)是线段AB的“邻近点”，∴点Q(m，n)在直线y＝x－1上。
∴ n＝m－1。
① 当m≥4时， n＝m－1≥3。
又AB∥x轴，∴此时点Q(m，n)到线段AB的距离是n－3。
∴0≤n－3＜1。∴4≤m＜5。
② 当m＜4时， n＝m－1＜3。
又AB∥x轴，∴ 此时点Q(m，n)到线段AB的距离是3－n。
∴0≤3－n＜1。∴3＜m＜4。
综上所述， 3＜m＜5。
（1）验证点Ｃ(，)满足“邻近点”的条件即可。
（2）分m≥4和m＜4讨论即可