题目内容
以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．（1）求AM，DM的长；
（2）求证：AM2=AD•DM；
（3）根据（2）的结论你能找出图中的黄金分割点吗？
分析：（1）由勾股定理求PD，根据AM=AF=PF-PA=PD-PA，DM=AD-AM求解；
（2）由（1）计算的数据进行证明；
（3）根据（2）的结论得：
=
，根据黄金分割点的概念，则点M是AD的黄金分割点．
（2）由（1）计算的数据进行证明；
（3）根据（2）的结论得：
| AM |
| AD |
| DM |
| AM |
解答：（1）解：在Rt△APD中，PA=
AB=1，AD=2，
∴PD=
=
，
∴AM=AF=PF-PA=PD-PA=
-1，
DM=AD-AM=2-（
-1）=3-
；
（2）证明：∵AM2=（
-1）2=6-2
，AD•DM=2（3-
）=6-2
，
∴AM2=AD•DM；
（2）点M是AD的黄金分割点．理由如下：
∵AM2=AD•DM，
∴
═
=
，
∴点M是AD的黄金分割点．
| 1 |
| 2 |
∴PD=
| AD2+AP2 |
| 5 |
∴AM=AF=PF-PA=PD-PA=
| 5 |
DM=AD-AM=2-（
| 5 |
| 5 |
（2）证明：∵AM2=（
| 5 |
| 5 |
| 5 |
| 5 |
∴AM2=AD•DM；
（2）点M是AD的黄金分割点．理由如下：
∵AM2=AD•DM，
∴
| AM |
| AD |
| DM |
| AM |
| ||
| 2 |
∴点M是AD的黄金分割点．
点评：此题综合考查了正方形的性质、勾股定理和黄金分割的概念．先求得线段AM，DM的长，然后求得线段AM和AD，DM和AM之间的比，根据黄金分割的概念进行判断．
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如图所示，以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上，则AM的长为（ ）
A、
| ||||
B、
| ||||
C、3-
| ||||
D、6-2
|
．以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上，如图所示．
．
如图所示，以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，
-1
以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．