题目内容

以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．
（1）求AM，DM的长；
（2）求证：AM²=AD•DM；
（3）根据（2）的结论你能找出图中的黄金分割点吗？

（1）解：在Rt△APD中，PA= $\text{[math]}$ AB=1，AD=2，
∴PD= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴AM=AF=PF-PA=PD-PA= $\text{[math]}$ -1，
DM=AD-AM=2-（ $\text{[math]}$ -1）=3- $\text{[math]}$ ；

（2）证明：∵AM²=（ $\text{[math]}$ -1）²=6-2 $\text{[math]}$ ，AD•DM=2（3- $\text{[math]}$ ）=6-2 $\text{[math]}$ ，
∴AM²=AD•DM；

（2）点M是AD的黄金分割点．理由如下：
∵AM²=AD•DM，
∴ $\text{[math]}$ ═ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴点M是AD的黄金分割点．
分析：（1）由勾股定理求PD，根据AM=AF=PF-PA=PD-PA，DM=AD-AM求解；
（2）由（1）计算的数据进行证明；
（3）根据（2）的结论得： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，根据黄金分割点的概念，则点M是AD的黄金分割点．
点评：此题综合考查了正方形的性质、勾股定理和黄金分割的概念．先求得线段AM，DM的长，然后求得线段AM和AD，DM和AM之间的比，根据黄金分割的概念进行判断．