Question

已知：以AB为直径的半圆上有C、D两点，∠DCB=120°，∠ADC=105°，CD=1（如图），求四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析：连接OD，OC．作CE⊥AB．从而得到△OAD为等边三角形，△OCD为等腰直角三角形，从而将四边形转化为特殊的三角形来求面积．

解答：解：如图，连接OD，OC．作CE⊥AB．
∵∠DCB=120°，
∴∠DAB=60°，
∴△OAD为等边三角形，
∴∠ODC=105°-60°=45°，
∴△OCD为等腰直角三角形，∠OCB=OBC=75°．
∵CD=1．
∴OD=

2

2

．CE=

OC

2

=

2

4

∴△AOD面积=

3

4

（

2

2

）²=

3

8

．
△ODC面积=

1

4

．
△OCB=

1

2

OB×CE=

1

8

．
∴四边形ABCD的面积=

3

8

+

1

4

+

1

8

=

3+ 3

8

．

点评：本题考查了圆周角定理，利用圆周角定理得到特殊的角是解决本题的关键．