Question

如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，FE⊥AD于点E，交BC的延长线于点F，连接AF，恰有∠FAC=∠B．求证：EF是AD的垂直平分线．

Answer 1

考点：线段垂直平分线的性质

专题：证明题

分析：因为FE⊥AD于点E，所以再证明AE=DE即可得到EF是AD的垂直平分线，若要证明AE=DE，可通过证明△FAE≌△FDE得到．

解答：证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵∠FAC=∠B，
∴∠EDF=∠EAF，
∵FE⊥AD于点E，
∴∠AEF=∠DEF=90°，
在△FAE和△FDE中

∠EAF=∠EDF ∠AEF=∠DEF EF=EF

，
∴△FAE≌△FDE，
∴AE=DE，
∴EF是AD的垂直平分线．

点评：此题考查了全等三角形的判定和性质、垂直平分线的性质、三角形外角的性质以及角平分线的定义．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．