Question

如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，M是

BC

的中点，OM交⊙O的切线BP于点P．
（1）判断直线PC和⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若sin∠BAC=0.8，⊙O的半径为2，求线段PC的长．

Answer 1

分析：（1）连接OC，证OC⊥PC即可，观察图形，可利用全等三角形来求解；已知的等量条件有：OB=OC，OP=OP，而M是弧BC的中点，由圆心角、弧的关系得∠COM=∠BOM，由此可利用SAS判定△POC≌△POB，即可得PC⊥OC，由此得证．
（2）首先由圆周角定理可证得∠POB=∠BAC，因此可在Rt△POB中，通过解直角三角形求得PB的长，进而可由切线长定理得到PC的长．

解答：解：（1）相切；
证明：连接OC；
∵点M是弧BC的中点，
∴∠BOM=∠MOC；
又∵OB=OC，OP=OP，
∴△POC≌△POB，
∴∠PBO=∠PCO；
已知PB是⊙O的切线，即∠PBO=90°；
故∠PCO=∠PBO=90°，即PC⊥OC；
而OC是⊙O的半径，所以PC是⊙O的切线．

（2）由圆周角定理知：∠BAC=

1

2

∠BOC=∠BOM，
∴sin∠BOM=sin∠BAC=0.8；
易知：tan∠BOM=

4

3

，
则PB=OB•tan∠BOM=

8

3

；
∵PC、PB都是⊙O的切线，且切点为C、B，
由切线长定理知：PC=PB=

8

3

．

点评：此题考查了切线的性质和判定、全等三角形以及解直角三角形等相关知识的综合应用，难度适中．