Question

如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E．

(1)求证：△ADE∽△BCE；

(2)如果AD²＝AE·AC，求证：CD＝CB．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得∠A＝∠B，又由对顶角相等，可证得：△ADE∽△BCE； 　　(2)由AD2＝AE·AC，可得＝，又由∠A是公共角，可证得△ADE∽△ACD，又由AC是⊙O的直径，以求得AC⊥BD，由垂径定理即可证得CD＝CB． 　　解答：(1)证明：如图∵∠A与∠B是对的圆周角， 　　∴∠A＝∠B， 　　又∵∠1＝∠2， 　　∴△ADE∽△BCE； 　　(2)证明：如图， 　　∵AD2＝AE·AC， 　　∴＝， 　　又∵∠A＝∠A， 　　∴△ADE∽△ACD， 　　∴∠AED＝∠ADC， 　　又∵AC是⊙O的直径， 　　∴∠ADC＝90°， 　　即∠AED＝90°， 　　∴直径AC⊥BD， 　　∴CD＝CB． 　　点评：此题考查了圆周角定理、垂径定理一相似三角形的判定与性质．此题难度不大，注意数形结合思想的应用．

提示：

考点：圆周角定理；相似三角形的判定与性质．