Question

【题目】已知二次函数y=x2﹣2mx+m2+m+1的图象与x轴交于A、B两点，点C为顶点．
（1）求m的取值范围；
（2）若将二次函数的图象关于x轴翻折，所得图象的顶点为D，若CD=8．求四边形ACBD的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵二次函数图象与x轴有两个交点，

∴△=4m2﹣4（m2+m+1）=﹣4m﹣4＞0，

∴m＜﹣1；

（2）解：y=x2﹣2m x+m2+m+1=（x﹣m） 2+m+1，

∵CD=8，

∴m+1=﹣4，解得m=﹣5，

∴y=x2+10 x+21，

令y=0，x2+10 x+21=0，解得x1=﹣3，x2=﹣7，则A（﹣3，0），B（﹣7，0）

∴AB=4，

∴S四边形ACBD=2× ×4×4=16．

【解析】（1）根据判别式的意义得到△=4m2﹣4（m2+m+1）=﹣4m﹣4＞0，然后解不等式即可；（2）先配方得到y=（x﹣m） 2+m+1，则顶点的纵坐标为m+1，利用C点和D点关于x轴对称得到m+1=﹣4，解得m=﹣5，所以y=x2+10 x+21，然后解方程x2+10 x+21=0得到A（﹣3，0），B（﹣7，0），再利用三角形面积公式计算四边形ACBD的面积．
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数图象的平移的相关知识，掌握平移步骤：（1）配方 y=a(x-h)2+k，确定顶点（h,k）（2）对x轴左加右减；对y轴上加下减，以及对抛物线与坐标轴的交点的理解，了解一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点．当b2-4ac>0时，图像与x轴有两个交点；当b2-4ac=0时，图像与x轴有一个交点；当b2-4ac<0时，图像与x轴没有交点．