Question

如图，在直角梯形纸片ABCD中，AB∥DC，∠A=90°，CD>AD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边CD上的点E处，折痕为DF，连接EF并展开纸片。
（1）求证：四边形ADEF是正方形；
（2）取线段AF的中点G，连接EG，如果BG=CD，试说明四边形GBCE是等腰梯形。

Answer 1

证明：（1）∵∠A=90°，AB∥DC， ∴∠ADE＝90°， 由沿DF折叠后△DAF与△DEF重合， 知AD=DE，∠ADF=∠EDF=45°， ∴AD=AF=ED=EF， ∴四边形ADEF是菱形，且∠A＝90°， ∴四边形ADEF是正方形。 （2）∵CE∥BG，且CE≠BG， ∴四边形GBCE是梯形， ∵四边形ADEF是正方形， ∴AD=FE，∠A＝∠GFE＝90°， 又∵点G为AF的中点， ∴AG=FG，连接DG， 在△AGD与△FGE中，∵AD=FE，∠A＝∠GFE，AG=FG， ∴△AGD≌△FGE， ∴∠DGA=∠EGB， ∵BG=CD，BG∥CD， ∴四边形BCDG是平行四边形， ∴DG∥CB， ∴∠DGA=∠B， ∴∠EGB=∠B， ∴四边形GBCE是等腰梯形。