Question

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAC=90°，DE⊥AC于E点．
（1）△ABC与△EDA相似吗？说明理由．
（2）若AB=6，BC=10，AD=DC；
①求线段DE的长；
②求梯形ABCD的面积．

Answer 1

解：（1）△ABC与△EDA相似，
理由是：∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠ACB，
∵∠BAC=90°，DE⊥AC，
∴∠AED=∠BAC=90°，
∴△ABC∽△EDA；


（2）①在Rt△BAC中，AB=6，BC=10，由勾股定理得：AC=8，
∵AD=DC，DE⊥AC，
∴AE=CE=AC=4，
∵△ABC∽△EDA，
∴=，
∴=，
∴DE=3；


②S_梯形ABCD=S_△ADC+S_△BAC
=×AC×DE+×AB×AC
=×8×3+×6×8
=36．
分析：（1）求出∠DAE=∠ACB，∠AED=∠BAC=90°，根据相似三角形的判定推出即可；
（2）①求出AC，求出AE，根据相似三角形的性质得出比例式，代入求出即可；②分别求出△BAC和△ACD的面积，相加即可求出答案．
点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，平行线性质，梯形的性质，三角形的面积，勾股定理等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．