Question

如图1，若四边形ABCD、GFED都是正方形，显然图中有AG=CE，AG⊥CE．
（1）当正方形GFED绕D旋转到如图2的位置时，AG=CE是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；
（2）当正方形GFED绕D旋转到B，D，G在一条直线（如图3）上时，连结CE，设CE分别交AG、AD于P、H．
 ①求证：AG⊥CE；
 ②如果，AD=2

5

，DG=

10

，求CE的长．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）利用正方形性质以及全等三角形的判定的很粗△AGD≌△CED（SAS）即可得出答案；
（2）①根据（1）得出∠1=∠2，再利用∠3=∠4，∠4+∠2=90°，可得出∠3+∠1=90°，进而得出答案；
②利用等腰直角三角形的性质可得出MD=MG=

5

，进而利用勾股定理求出CE的长．

解答：（1）解：AG=CE成立．
理由：∵四边形ABCD、四边形DEFG是正方形，
∴GD=DE，AD=DC，
∠GDE=∠ADC=90°，
∴∠GDA=90°-∠ADE=∠EDC，
在△AGD和△CED中，

DG=DE ∠GDA=∠EDC DA=DC

∴△AGD≌△CED（SAS），
∴AG=CE；

（2）证明：①由（1）可知△AGD≌△CED，
∴∠1=∠2，
∵∠3=∠4，∠4+∠2=90°，
∴∠3+∠1=90°，
∴∠APH=90°，
∴AG⊥CH；

②解：过G作GM⊥AD于M．
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ADB=∠GDM=45°，
∴∠DGM=45°，
∵DG=

10

，
∴MD=MG=

5

，
在Rt△AMG中，由勾股定理，得
∴CE=AG=5

2

．

点评：此题主要考查了正方形的性质以及等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质等知识，熟练利用正方形性质得出相等线段和角是解题关键．