Question

【题目】阅读下面材料，完成（1）~（2）题：

数学课上，老师出示了一道题：如图1，将一个直角三角板的直角边摆放在直线上，然后以直角顶点为旋转中心顺时针旋转这个三角板．若射线平分、探究和的数量关系，并说明经过一段时间的思考后，同学们开始了交流：

小明：我根据老师的叙述画出图2，并计算出当时，的度数是；

小红：在小明的图形中，点、都在的上方，我发现，在这种情况下，始终在的内部．若设的度数是，通过计算，的度数可以用含的式子表示，得到和的数量关系是；

小华：我除了画小明的这种图形，还画了其余几种，也分别得出和的数量关系，从而解决了老师提出的问题．

老师：这些同学都先画出图形，再解决问题，这体现了图形的直性，但要注意一点，在初中阶段我们研究的角都是小于的．随着大家交流的深入，点的位置由上方到直线外，的值由数字到字母，这体现了从特殊到一般的思想，同学们再根据小华所说的进行探究，还能归纳出其他的数学思想方法！

图1 图2

（1）如图2，点、都在上方，．

①用含的代数式表示为_____________；

②小红的“始终在的内部”的说法是正确的吗，为什么？

（2）根据小华的叙述，写出与的数量关系并说明．

Answer 1

【答案】（1）①;②始终在的内部; （2）当点在的上方,点在的下方的图形时, ;当点在的下方,点在的上方时, ;当点、都在的下方时, .

【解析】

（1）①观察图形,寻找角之间的关系,可以发现.

②小红说法是正确的,只要证明当点、都在的上方时, 即可.

（2）继续旋转三角尺,分别作出点在的上方,点在的下方的图形; 点在的下方,点在的上方的图形; 点、都在的下方的图形并一一解答即可.

解: （1）①观察图形可得.

②当点、都在的上方时,

因为,

所以,

所以始终在的内部.

（2）第一种情况,当点在的上方,点在的下方的图形时,如图:

此时

第二种情况,当点在的下方,点在的上方时,如下图:

此时

第三种情况,当点、都在的下方时,如下图:

此时