Question

如图，已知CE、CF分别平分∠ACB和△ABC的外角∠ACG，EF∥BC，EF交AC于D．
（1）判断△ECF是什么三角形，并说明理由；
（2）试说明CD是△ECF的中线；
（3）请探究∠ACB等于多少度时，CF=

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EF．

Answer 1

分析：（1）根据角平分线的定义得到∠ACE=

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∠ACB，∠ACF=

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∠ACG，则∠ACE+∠ACF=

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（∠ACB+∠ACG），然后根据平角的定义即可得到∠ACE+∠ACF=90°；
（2）根据角平分线的定义由CF平分∠ACG得到∠DCF=∠GCF，由EF∥BG，根据平行线的性质得∠GCF=∠F，代换后得∠F=∠DCF，根据等腰三角形的判定得DF=DC，同理可得DE=DC，则DE=DF；
（3）由于在Rt△CEF中，CF=

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EF，根据含30度的直角三角形三边的关系得∠FEC=30°，利用平行线性质得∠BEC=30°，然后根据角平分线的定义得到∠ACB=2∠ECB=60°．

解答：解：（1）△ECF为直角三角形．利用如下：
∵CE、CF分别平分∠ACB和△ABC的外角∠ACG，
∴∠ACE=

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∠ACB，∠ACF=

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∠ACG，
∴∠ACE+∠ACF=

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（∠ACB+∠ACG），
而∠ACB+∠ACG=180°，
∴∠ACE+∠ACF=

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×180°=90°，
即∠ECF=90°，
∴△ECF为直角三角形；

（2）∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE=∠ECD，
而EF∥BG，
∴∠DEC=∠BCE，
∴∠DEC=∠DCE，
∴DE=DC，
又∵CF平分∠ACG，
∴∠DCF=∠GCF，
而EF∥BG，
∴∠GCF=∠F，
∴∠F=∠DCF，
∴DF=DC，
∴DE=DF，
∴CD是△ECF的中线；

（3）在Rt△CEF中，CF=

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EF，
∴∠FEC=30°，
∴∠BEC=30°，
∴∠ACB=2∠ECB=60°，
即∠ACB等于60度时，CF=

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EF．

点评：本题考查了等腰直角三角形的判定与性质：有两个角相等的三角形是等腰三角形；等腰三角形的两底角相等．也考查了平行线的性质和含30度的直角三角形三边的关系．