Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，有下列结论：
①△DFE是等腰直角三角形；
②四边形CEDF不可能为正方形；
③四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化；
④点C、E、D、F四点在同一个圆上，且该圆的面积最小为4π；
⑤DE•DF+CE•CF的值是定值为8．
其中正确结论的个数是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：连接CD，易得△ABC是等腰直角三角形，则∠A=∠B=45°，在根据等腰三角形的性质和直角三角形斜边上的中线性质得CD⊥AB，CD=AD=BD，则∠DCB=45°，得到∠A=∠DCF，然后利用“SAS”证明△ADE≌△CDF，得到ED=DF，∠CDF=∠ADE，易得∠EDC+∠CDF=90°，于是可判断△DFE是等腰直角三角形；当E、F分别为AC、BC中点时，易判断四边形CDFE是正方形；由△ADE≌△CDF得S_△ADE=S_△CDF，则S_{四边形CEDF}=S_△CDE+S_△CDF=S_△CDE+S_△ADE=S_△ADC=

1

2

S_△ABC═4，判断四边形CEDF的面积为定值；根据圆周角定理的推论得到点C、D在以EF为直径的圆上，即点C、E、D、F四点在同一个圆上，由△DEF是等腰直角三角形得到EF=

2

DE，再根据垂线段最短得到当DE⊥AC时，DE最短，此时DE=

1

2

AC=2，则EF的最小值为2

2

，根据圆的面积公式得到以EF为直径的圆的面积的最小值=2π；由S_{四边形CEDF}=S_△CFE+S_△DEF=4，利用三角形面积公式得到

1

2

CE•CF+

1

2

DE•DF=4，所以DE•DF+CE•CF=8．

解答：解：连接CD，如图1，
∵∠C=90°，AC=BC=4，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A=∠B=45°，
∵D为AB的中点，
∴CD⊥AB，CD=AD=BD，
∴∠DCB=∠B=45°，
∴∠A=∠DCF，
在△ADE和△CDF中

AE=CF ∠A=∠DCF AD=CD

∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴ED=DF，∠CDF=∠ADE，
∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠EDC+∠CDF=90°，即∠EDF=90°，
∴△DFE是等腰直角三角形，所以①正确；
当E、F分别为AC、BC中点时，如图2，则AE=CE=CF=BF，DE=AE=CE，
∴CE=CF=DE=DF，
而∠ECF=90°，
∴四边形CDFE是正方形，所以②错误；
∵△ADE≌△CDF，
∴S_△ADE=S_△CDF，
∴S_{四边形CEDF}=S_△CDE+S_△CDF=S_△CDE+S_△ADE=S_△ADC=

1

2

S_△ABC=

1

2

×

1

2

×4×4=4，所以③错误；
∵△CEF和△DEF都为直角三角形，
∴点C、D在以EF为直径的圆上，即点C、E、D、F四点在同一个圆上，
∵△DEF是等腰直角三角形，
∴EF=

2

DE，
当DE⊥AC时，DE最短，此时DE=

1

2

AC=2，
∴EF的最小值为2

2

，
∴以EF为直径的圆的面积的最小值=π•（

1

2

•2

2

）²=2π，所以③错误；
∵S_{四边形CEDF}=S_△CFE+S_△DEF=4，
∴

1

2

CE•CF+

1

2

DE•DF=4，
∴DE•DF+CE•CF=8，所以④正确．
故选B．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理及其推论、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质；会运用三角形全等证明线段和角相等．