Question

如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线CD，切点为C，AD⊥CD，若CD=4，AD=8，则⊙O的直径AB的长为________．

Answer 1

10
分析：连接OC，过O作OE⊥AD于E，由切线的性质可知OC⊥DC，所以四边形OEDC是矩形，所以OC=DE，DC=OE，设OC=x，则AE=AD-DE=8-x，在Rt△ADE中利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值即为半径，进而求出直径AB的长．
解答：连接OC，过O作OE⊥AD于E，
∵CD是⊙O的切线，
∴DC⊥OC，
∴∠D=∠DCO=∠OED=90°，
∴四边形OEDC是矩形，
∴OC=DE，DC=OE=4，
设OC=x，则AE=AD-DE=8-x，
在Rt△ADE中由勾股定理得：AE²+OE²=AO²，
则（8-x）²+4²=x²，
解得：x=5，
∴AB=2OC=2x=10．
故答案为：10．
点评：本题考查了切线的性质、矩形的判定和性质、勾股定理的运用以及一元二次方程的运用，题目的设计综合性很好，对学生解题的能力要求挺高．