Question

若x，y，z均为非负数，且满足x-1=

y+1

2

=

z-2

3

，则x²+y²+z²可取得的最小值为

 

．

Answer 1

考点：配方法的应用,非负数的性质：偶次方

专题：计算题

分析：用换元法把x、y、z的值用一个未知数表示出来，再求其最值即可．

解答：解：令x-1=

y+1

2

=

z-2

3

=t，
则x=t+1，y=2t-1，z=3t+2，
于是x²+y²+z²=（t+1）²+（2t-1）²+（3t+2）²
=t²+2t+1+4t²+1-4t+9t²+4+12t
=14t²+10t+6，
∵x，y，z均为非负数，
∴x-1≥-1，

y+1

2

≥

1

2

，

z-2

3

≥-

2

3

，
∵x-1=

y+1

2

=t，
∴y≥

1

2

，
∴当t=

1

2

时，其最小值=14×

1

4

+10×

1

2

+6=

29

2

．
故答案为：

29

2

．

点评：本题考查了配方法的应用及非负数的性质，解题的关键是利用换元法得到有关x、y、z的二次三项式并求最值．