Question

如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠EAC=90°，点M为射线AE上任意一点（不与A重合），连接CM，将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90°得到线段CN，直线NB分别交直线CM、射线AE于点F、D．

（1）直接写出∠NDE的度数；

（2）如图2、图3，当∠EAC为锐角或钝角时，其他条件不变，（1）中的结论是否发生变化？如果不变，选取其中一种情况加以证明；如果变化，请说明理由；

（3）如图4，若∠EAC=15°，∠ACM=60°，直线CM与AB交于G，BD= ，其他条件不变，求线段AM的长．

 

Answer 1

解：（1）∵∠ACB=90°，∠MCN=90°，

∴∠ACM=∠BCN，

在△MAC和△NBC中，

，

∴△MAC≌△NBC，

∴∠NBC=∠MAC=90°，

又∵∠ACB=90°，∠EAC=90°，

∴∠NDE=90°；

（2）不变，

在△MAC≌△NBC中，

，

∴△MAC≌△NBC，

∴∠N=∠AMC，

又∵∠MFD=∠NFC，

∠MDF=∠FCN=90°，即∠NDE=90°；

（3）作GK⊥BC于K，

∵∠EAC=15°，

∴∠BAD=30°，

∵∠ACM=60°，

∴∠GCB=30°，

∴∠AGC=∠ABC+∠GCB=75°，

∠AMG=75°，

∴AM=AG，

∵△MAC≌△NBC，

∴∠MAC=∠NBC，

∴∠BDA=∠BCA=90°，

∵BD=，

∴AB=+，

AC=BC=+1，

设BK=a，则GK=a，CK=a，

∴a+a=+1，

∴a=1，

∴KB=KG=1，BG=，

AG=，

∴AM=．

本题考查的是矩形的判定和性质以及三角形全等的判定和性质，正确作出辅助线、利用方程的思想是解题的关键，注意旋转的性质的灵活运用．