Question

现有4个全等的直角三角形纸板，你能用它们来拼证勾股定理吗？若能，说明你的思路和方法，方法越多越好（至少要写出四种方法）．

Answer 1

考点：勾股定理的证明

专题：开放型

分析：通过作图，利用三角形面积、正方形面积之间的关系，证明勾股定理．

解答：解：解法一：①如图：

②证明：∵大正方形的面积表示为（a+b）²，大正方形的面积也可表示为c²+4×

1

2

ab，
∴（a+b）²=c²+4×

1

2

ab，
a²+b²+2ab=c²+2ab
∴a²+b²=c²，
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．

解法二：①如图，

②证明：∵大正方形的面积表示为：c²，
又可以表示为：

1

2

ab×4+（b-a）²，
∴c²=

1

2

b×4+（b-a）²，c²=2ab+b²-2ab+a²，
∴a²+b²=c²，
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；

解法三：①如图，

②证明：梯形的面积可以表示为：

1

2

ab×2+

1

2

c•c=ab+

1

2

c²，
也可以表示为：

1

2

（a+b）（a+b）=

1

2

（a²+2ab+b²），
∴

1

2

（a²+2ab+b²）=ab+

1

2

c²，
整理得，a²+b²=c²；

解法四：①如图，

②证明：边长为c的正方形的面积可以表示为c²，
也可以表示为：a²+b²，
∴a²+b²=c²．

点评：本题考查了勾股定理的证明，利用同一个图形的面积的不同表示方法得解即可，灵活性较强．