题目内容
【题目】已知函数f（x）=lnx+x2﹣2ax+1（a为常数）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若对任意的 
，都存在x0∈（0，1]使得不等式 
成立，求实数m的取值范围．
【答案】
（1）解：由f（x）=lnx+x2﹣2ax+1，得 
，
令h（x）=2x2﹣2ax+1．
①当a≤0时，h（x）＞0，则f'（x）＞0成立，
△=4a2﹣8，当 
时，△≤0，则2x2﹣2ax+1≥0，h（x）≥0，即f'（x）≥0恒成立，
∴当 
时，f'（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
②当 
时，由2x2﹣2ax+10≥0，得 
或 
，
由2x2﹣2ax+10＜0，得 
．
∴f（x）在 
上单调递增，在 
单调递减；
（2）解：∵ 
，
∴f'（x）＞0，f（x）在（0，1]单调递增，f（x）max=f（1）=2﹣2a，
存在x0∈（0，1]使得不等式 
成立，
即2﹣2a+lna＞m（a﹣a2），
∵任意的 
，∴a﹣a2＜0，即 
恒成立，
令 
，则 
，
∵任意的 ， 
，
∴ 
是增函数，
∴ 
，
∵ 
恒成立，
∴实数m的取值范围 
．
【解析】（1）求出原函数的导函数，当a≤0时，导函数恒大于0，然后利用二次函数的判别式对a分类讨论求出导函数在不同区间内的符号，得到原函数的单调性；（2）由（1）知， 时，函数f（x）在（0，1]上单调递增，求出函数在（0，1]上的最大值2﹣2a，把存在x0∈（0，1]使得不等式 成立转化为2﹣2a+lna＞m（a﹣a2），得到 恒成立，构造函数 ，求导可知为增函数，得其最大值，则实数m的取值范围可求．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间
内，(1)如果
，那么函数
在这个区间单调递增；(2)如果
，那么函数
在这个区间单调递减，以及对函数的最大(小)值与导数的理解，了解求函数在
上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值
，
比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．
