Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，△ABC的周长为12，AB，AC边的中点分别为F1（﹣1，0）和F2（1，0），点M为BC边的中点．
（1）求点M的轨迹方程；
（2）设点M的轨迹为曲线T，直线MF1与曲线T另一个交点为N，线段MF2中点为E，记S=S +S ，求S的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意，|MF1|+|MF2|=6﹣2=4＞2=|F1F2|，

∴M的轨迹是以F1（﹣1，0）和F2（1，0）为焦点的椭圆（除去与x轴的交点），a=2，c=1，

∴b= ，

∴点M的轨迹方程为 =1；

（2）解：设M（x1，y1），N（x2，y2），则由题意，设直线MN的方程为x=my﹣1，

代入椭圆方程，整理可得（3m2+4）y2﹣6my﹣9=0，

则y1+y2= ，y1y2=﹣ ，

∴S=S +S = |y1|+ |y2|= |y1﹣y2|=6 ，

令t=3m2+4≥4，则S=6 ，∴t=4，S的最大值为 ．

【解析】（1）利用椭圆的定义，求点M的轨迹方程；（2）设直线MN的方程为x=my﹣1，代入椭圆方程，整理可得（3m2+4）y2﹣6my﹣9=0，利用韦达定理，结合三角形的面积公式，即可得出结论．