Question

【题目】△ABC为等边三角形，O为BC的中点，D、E分别在边AB、AC上．如图1．

（1）若∠DOE=120°，求证：OD=OE；

（2）如图2，BD=4，CE=2，M是DE的中点，求OM的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）MO．

【解析】

（1）根据题意以O为圆心，OD长为半径画弧，交AB于点H，连接OH，则OH＝OD，根据△ABC为等边三角形，∠DOE＝120°，可知∠OEC＝∠ADO，则可证出△BHO≌△CEO，可得OH＝OE，即OD＝OE；

（2）由题意连接BE，取BE的中点G，连接MG并延长交BC于点H，连接GO，过点O作OJ垂直MH，M为DE中点，G为BE中点，则MG∥DB，MG＝DB，∠MHO＝∠ABC＝60°，点O为BC的中点，点G为BE的中点，则GO∥EC，GO＝EC＝1，∠GOH＝∠C＝60°，可推出HG＝HO＝GO＝1，GJ＝，OJ＝，在Rt△MOJ中，（）2+（）2＝MO2，解得MO＝．

解：（1）如图1所示，

以O为圆心，OD长为半径画弧，交AB于点H，连接OH，则OH=OD．

∵△ABC为等边三角形，

∴∠B=∠C=∠A=60°，

∵∠DOE=120°，

∴∠A+∠DOE=180°，

∴∠ADO+∠AEO=180°，

∵∠OEC+∠AEO=180°，

∴∠OEC=∠ADO，

∵∠HDO=∠DHO，

∴∠BHO=∠ADO=∠OEC，

∵O为BC的中点，

∴BO=OC，

∴△BHO≌△CEO(AAS)，

∴OH=OE，

∴OD=OE．

（2）如图2所示，

连接BE，取BE的中点G，连接MG并延长交BC于点H，连接GO，过点O作OJ垂直MH．

∵M为DE中点，G为BE中点，

∴MG∥DB，MGDB=2，

∴∠MHO=∠ABC=60°，

∵点O为BC的中点，点G为BE的中点，

∴GO∥EC，GOEC=1，

∴∠GOH=∠C=60°，

△GOH为等边三角形，

∴HG=HO=GO=1，

∴GJ，OJ，

在Rt△MOJ中，

()2+()2=MO2，

解得：MO．