Question

已知，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，∠BOA＝30°，AB＝2．若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图15所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内．将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处．

　　（1）求点C的坐标；

　　（2）若抛物线y=ax²+bx（a≠0）经过C、A两点，求此抛物线的函数关系式；

　　（3）若抛物线的对称轴与OB交于点D，点P为线段DB上一点，过P作轴的平行线，交抛物线于点M．问：是否存在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

解：（1）过点C作CH⊥x轴，垂足为H．

　　∵在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，∠BOA＝30°，AB＝2， ∴OB＝4，OA＝．

　　由折叠知，∠COB＝30°，OC＝OA＝，∴∠COH＝60°，OH＝，CH＝3.

　　∴C点坐标为（，3）.

　　（2）∵抛物线y=ax²+bx(a≠0)经过C（，3）、A（，0）两点,

　　∴ 解得

　　∴此抛物线的函数关系式为y=-x²+2x．

（3）存在．

　　因为的顶点坐标为（，3）,即为点C，MP⊥轴，设垂足为N，PN＝，因为∠BOA＝30°，所以ON＝t，∴P（