题目内容

已知,在Rt△OAB中,∠OAB=90°,∠BOA=30°,AB=2.若以O为坐标原点,OA所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,点B在第一象限内.将Rt△OAB沿OB折叠后,点A落在第一象限内的点C处.
(1)求点C的坐标;
(2)若抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过C、A两点,求此抛物线的解析式;
(3)若抛物线的对称轴与OB交于点D,点P为线段DB上一点,过P作y轴的平行线,交抛物线于点M.问:是否存在这样的点P,使得四边形CDPM为等腰梯形?若存在,请求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.
注:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为,对称轴公式为x=-

【答案】分析:(1)可在直角三角形BOA中,根据AB的长和∠AOB的度数,求出OA的长.根据折叠的性质可知:OC=OA,∠COA=60°,过C作x轴的垂线,即可用三角形函数求出C点的坐标;
(2)根据(1)求出的A,C点的坐标,用待定系数法即可求出抛物线的解析式;
(3)根据等腰梯形的性质,如果过M,P两点分别作底的垂线ME和PQ,那么CE=PQ,可先设出此时P点的坐标,然后表示出M点的坐标,CE就是C点纵坐标与M点纵坐标的差,QD就是P点纵坐标和D点纵坐标的差.由此可得出关于P点横坐标的方程,可求出P点的横坐标,进而可求出P点的坐标.
解答:解:(1)过点C作CH⊥x轴,垂足为H
∵在Rt△OAB中,∠OAB=90°,∠BOA=30°,AB=2
∴OB=4,OA=
由折叠知,∠COB=30°,OC=OA=
∴∠COH=60°,OH=,CH=3
∴C点坐标为(,3);

(2)∵抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过C(,3)、A(,0)两点,

解得:
∴此抛物线的解析式为:y=-x2+2x.
解法一:(3)存在.
因为的顶点坐标为(,3)
所以顶点坐标为点C(8分)
作MP⊥x轴,垂足为N,
设PN=t,因为∠BOA=30°,
所以ON=t
∴P(t,t)(9分)
作PQ⊥CD,垂足为Q,ME⊥CD,垂足为E
t代入
得:y=-3t2+6t
∴M(t,-3t2+6t),E(,-3t2+6t)(10分)
同理:Q(,t),D(,1)
要使四边形CDPM为等腰梯形,只需CE=QD(这时△PQD≌△MEC)
即3-(-3t2+6t)=t-1,解得:,t2=1(不合题意,舍去)(11分)
∴P点坐标为()(12分)
∴存在满足条件的点P,使得四边形CDPM为等腰梯形,此时P点的坐为();
解法二:

(3)存在.
由(2)可得:=得顶点坐标为(,3),
即点C恰好为顶点;(8分)
设MP交x轴于点N,
∵MP∥y轴,CH为抛物线的对称轴
∴MP∥CD且CM与DP不平行
∴四边形CDPM为梯形
若要使四边形CDPM为等腰梯形,只需∠MCD=∠PDC
由∠PDC=∠ODH=90°-∠DOA=60°,则∠MCD=60°
又∵∠BCD=90°-∠OCH=60°,
∴∠MCD=∠BCD,
∴此时点M为抛物线与线段CB所在直线的交点(9分)
设BC的解析式为y=mx+n
由(2)得C(,3)、B(,2)

解得:
∴直线BC的解析式为(10分)


∴ON=(11分)
在Rt△OPN中,tan∠PON=
∴P点坐标为()(12分)
∴存在满足条件的点P,使得四边形CDPM为等腰梯形,此时P点的坐标为().
点评:本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、图形翻折变换、三角形全等、等腰梯形的性质等重要知识点,综合性强,考查学生数形结合的数学思想方法.
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