题目内容
(2013•武汉模拟)已知,在Rt△OAB中,∠OAB=90°,∠BOA=30°,AB=2,以O 为原点,OA所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,点B在第一象限内,将Rt△OAB沿OB折叠后,点A落在第一象限内的点C处.
(1)求点C的坐标和过O、C、A三点的抛物线的解析式;
(2)P是此抛物线的对称轴上一动点,当以P、O、C为顶点的三角形是等腰三角形时,请直接写出点P的坐标;
(3)M(x,y)是此抛物线上一个动点,当△MOB的面积等于△OAB面积时,求M的坐标.
(1)求点C的坐标和过O、C、A三点的抛物线的解析式;
(2)P是此抛物线的对称轴上一动点,当以P、O、C为顶点的三角形是等腰三角形时,请直接写出点P的坐标;
(3)M(x,y)是此抛物线上一个动点,当△MOB的面积等于△OAB面积时,求M的坐标.
分析:(1)在Rt△OAB中,已知∠BOA的度数和AB的长,可求出OA的值,即可得到点A的坐标;由于△OBC由△OAB折叠所得,那么∠BOA=∠BOC、且OA=OC,过C作x轴的垂线,在构建的直角三角形中,通过解直角三角形可得到点C的坐标;最后利用待定系数法可求出抛物线的解析式.
(2)以P、O、C为顶点的等腰三角形并没有确定腰和底,所以要分情况讨论:①CP=OP、②OC=CP、③OC=OP;
首先设出点P的坐标,在用表达式表示出△OPC三边长后,按上面所列情况列方程求解即可.
(3)在直线OB两边,到OB的距离等于
的直线有两条,直线和抛物线的交点就是M点,求出即可.
(2)以P、O、C为顶点的等腰三角形并没有确定腰和底,所以要分情况讨论:①CP=OP、②OC=CP、③OC=OP;
首先设出点P的坐标,在用表达式表示出△OPC三边长后,按上面所列情况列方程求解即可.
(3)在直线OB两边,到OB的距离等于
3 |
解答:解:(1)由已知条件,可知OC=OA=
=2
,∠COA=60°,
C点的坐标为(
,3),
设过O、A、C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,
则
,解得
,
所求抛物线的解析式为y=-x2+2
x.
(2)由题意,设P(
,y),则:
OP2=y2+3、CP2=(y-3)2=y2-6y+9、OC2=12;
①当OP=CP时,6y=6,即 y=1;
②当OP=OC时,y2=9,即 y=±3(y=3舍去);
③当CP=OC时,y2-6y-3=0,即 y=3±2
;
∴P点的坐标是(
,1)或(
,-3)或(
,3-2
)或(
,3+2
);
(3)
过A作AR⊥OB于R,过O作ON⊥MN于N,MN与y轴交于点D.
∵∠OAB=90°,∠BOA=30°,AB=2,
∴OA=2
,OB=4,
由三角形面积公式得:4×AR=2
×2,
AR=
,
∵△MOB的面积等于△OAB面积,
∴在直线OB两边,到OB的距离等于
的直线有两条,直线和抛物线的交点就是M点,
∠NOD=∠BOA=30°,ON=
,
则OD=2,
求出直线OB的解析式是y=
x,
则这两条直线的解析式是y=
x+2,y=
x-2,
解
,
,
解得:
,
,
,
此时,M1(
,3)、M2(
,
).M3(2
,0).M4(-
,-
).
OB |
tan30° |
3 |
C点的坐标为(
3 |
设过O、A、C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,
则
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所求抛物线的解析式为y=-x2+2
3 |
(2)由题意,设P(
3 |
OP2=y2+3、CP2=(y-3)2=y2-6y+9、OC2=12;
①当OP=CP时,6y=6,即 y=1;
②当OP=OC时,y2=9,即 y=±3(y=3舍去);
③当CP=OC时,y2-6y-3=0,即 y=3±2
3 |
∴P点的坐标是(
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3 |
3 |
3 |
3 |
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(3)
过A作AR⊥OB于R,过O作ON⊥MN于N,MN与y轴交于点D.
∵∠OAB=90°,∠BOA=30°,AB=2,
∴OA=2
3 |
由三角形面积公式得:4×AR=2
3 |
AR=
3 |
∵△MOB的面积等于△OAB面积,
∴在直线OB两边,到OB的距离等于
3 |
∠NOD=∠BOA=30°,ON=
3 |
则OD=2,
求出直线OB的解析式是y=
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则这两条直线的解析式是y=
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解
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解得:
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此时,M1(
3 |
2
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8 |
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点评:该题主要考查:利用待定系数法确定函数解析式、解直角三角形、等腰三角形的判定和性质以及三角形面积的解法等基础知识;类似(2)题的等腰三角形判定题,通常都要根据不同的腰和底进行分类讨论,以免漏解.
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