Question

【题目】如图，直线分别与轴、轴交于两点，点在轴上，，抛物线经过两点．

（1）求两点的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）点是直线上方抛物线上的一点，过点作于点，作轴交于点，求周长的最大值．

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）

【解析】

（1）由直线解析式可求得B、C坐标，在Rt△BOC中由三角函数定义可求得∠OCB＝60°，则在Rt△AOC中可得∠ACO＝30°，利用三角函数的定义可求得OA，则可求得A点坐标；
（2）由A、B两点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（3）由平行线的性质可知∠MDH＝∠BCO＝60°，在Rt△DMH中利用三角函数的定义可得到DH、MH与DM的关系，可设出M点的坐标，则可表示出DM的长，从而可表示出△DMH的周长，利用二次函数的性质可求得其最大值．

解：（1）直线分别与轴、轴交于两点，

当x=0时，y=，当y=0时，x=3，

，，

，，

，

，

，即，解得，

；

（2）抛物线经过两点，将与代入得：

，解得，

抛物线解析式为；

（3）轴，，

，则，

，，

的周长，

当有最大值时，其周长有最大值，

点是直线上方抛物线上的一点，

设，则，

，

当时，有最大值，最大值为，

此时，

即周长的最大值为．