Question

如图，将圆C放置在直角坐标系中，圆C经过原点O以及点A（2，0），点B（0，）。

（1）求圆心的坐标以及圆C的半径； （4分）

（2）设弧OB的中点为D，请求出同时经过O,A,D三个点的抛物线解析式。

并判断该抛物线的顶点是否在圆C上，说明理由。（6分）

（3）若（2）中的抛物线上存在点P（m，n），满足∠APB为钝角，直接写出m的取值范围。（2分）

Answer 1

（1）点C的坐标是（1，）；

（2）顶点不在圆C上；

（3）-1<m<0或2<x<3.

【解析】

试题解析：【解析】
∵∠AOB＝90°，

∴AB为圆直径

∵点A（2，0），点B（0，）

∴AB＝

∴⊙O的半径是2，

过点C作CN⊥OA垂足为N点，

∴N是OA中点

∴CN=OB=，ON=1

∴点C的坐标是（1，）；

（2）如下图所示，

连接OD交OB于点M

∴CD⊥OB于点M

∴CM=OA=1

∴MD=1

∴点D的坐标为（-1，）

∵抛物线经过原点O，

∴设所求抛物线的解析式为

把点D（-1，）、A（2，0）代入解析式得：

解得

∴抛物线解析式为：

配方得：，

∴抛物线的顶点坐标是（1，）

该点到圆心C的距离是

所以顶点不在圆C上；

（3）∵AB是圆的直径，

∴当抛物线上的点在圆内部时，∠APB是钝角，

∴m的取值范围是-1<m<0或2<x<3.

考点：二次函数解析式的求法、圆的基本性质

点评：本题主要考查了二次函数解析式的求法与圆的基本性质.求二次函数的解析式的常用方法是待定系数法.