Question

19．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，EF⊥CD于点F，求证：S_梯形ABCD=EF•CD．

Answer 1

分析 作延长DE交CD延长线上点G，过点G作GH⊥FE，交FE的延长线上于点H，然后将梯形ABCD的面积转化为梯形HGFC的面积，即可求解．

解答 解：延长DE交CB延长线上点G，过点G作GH⊥FE，交FE的延长线上于点H，
∵AD∥BC，E是AB中点，
∴∠A=∠EBG，AE=BE，
在△AED和△BGE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠EBG}&{\;}\\{AE=BE}&{\;}\\{∠AED=∠BEG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△BGE（ASA），
∴GE=ED，即点E是GD的中点，
∵∠H=∠DFH=90°，
∴CD∥HG，
同理：△GHE≌△DFE，
∴GH=DF，HE=EF，
∴GH+CF=CF+DF=CD，
∴梯形ABCD与梯形HGFC的面积相等，
∵S_梯形HGFC=$\frac{1}{2}$（GH+CF）•HF=$\frac{1}{2}$×CD×2EF=EF•CD．

点评 本题考查了梯形的性质、全等三角形的判定与性质；本题通过作辅助线，把梯形ABCD的面积转化为梯形HGFC的面积是解决问题的关键．