Question

如图所示，在平面直角坐标系中，以点M（2，3）为圆心，5为半径的圆交x轴于A，B两点，过点M作x轴的垂线，垂足为D；过点B作⊙M的切线，与直线MD交于N点．
（1）求点B、点N的坐标以及直线BN的解析式；
（2）求过A、N、B、三点（对称轴与y轴平行）的抛物线的解析式；
（3）设（2）中的抛物线与y轴交于点P，以点D，B，P三点为顶点作平行四边形，请你求出第四个顶点Q的坐标，并判断Q是否在（2）中的抛物线上．

Answer 1

分析：（1）本题需先根据圆的方程求出点B的坐标，然后求出直线BN的解析式，即可求出点N的坐标．
（2）根据抛物线的对称轴和点A的坐标即可求出抛物线的解析式．
（3）根据抛物线的解析式求出点P的坐标，再根据平行线的性质求出点Q的坐标，并由此判断出Q是否在抛物线上．

解答：解：（1）连接BM
则BM=5，DM=3
BD=

BM2-DM2

=

52-32

=4
∴BO=BD-OD=4-2=2
∴点B坐标为（-2，0），
∵直线BN和BM垂直，
∴△MBD∽△MNB，
∴

MB

MN

=

MD

MB

，
∴

5

MN

=

3

5

，
∴MN=

25

3

，
∴DN=

25

3

-3=

16

3

，
∴点N的坐标是（2，-

16

3

），
设直线BN的解析式是y=kx+b（k≠0），
把B（-2，0）N（2，-

16

3

）代入函数的解析式得：

0=-2k+b - 16 3 =2k+b

，
解得k=-

4

3

，b=-

8

3

，
∴直线BN的解析式是；y=-

4

3

x-

8

3

；

（2）点A，B关于直线x=2对称，
所以x=2就是抛物线的对称轴那么设抛物线的方程为y=a（x-2）²-

16

3

，
将A（6，0）代入 0=16a-

16

3

，
a=

1

3

，
那么y=

1

3

（x-2）²-

16

3

=

1

3

x²-

4

3

x-4；

（3）令x=0，y=-4，
所以点P的坐标（0，-4）若构成平行四边形，那么Q的纵坐标为-4，
设横坐标为a，
∵AD=4，
∴a=4 点Q坐标（4，-4）将x=4代入y=

1

3

x2-

4

3

x-4=-4，
Q₁（-4，-4）；Q₂（4，-4）；Q₃（0，4），
Q₂在抛物线上是Q的横坐标，所以点Q在抛物线上．

点评：本题主要考查了抛物线的性质和解析式求法，要会根据已知条件求点的坐标并判断出是否在抛物线上．