Question

【题目】如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点延长AE至G，使EG=AE，连接CG．

（1）求证：△ABE≌△CDF；

（2）当AB=AC时，判断四边形EGCF是什么形状？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）矩形，理由见解析．

【解析】

（1）根据题意由平行四边形的性质得出AB=CD，AB∥CD，OB=OD，OA=OC，由平行线的性质得出∠ABE=∠CDF，证出BE=DF，由SAS证明△ABE≌△CDF即可；

（2）由题意证出AB=OA，并由等腰三角形的性质得出AG⊥OB，∠OEG=90°，同理：CF⊥OD，得出EG∥CF，证出EG=CF，得出四边形EGCF是平行四边形，即可得出结论．

解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AB∥CD，OB=OD，OA=OC，

∴∠ABE=∠CDF，

∵点E，F分别为OB，OD的中点，

∴BE=OB，DF=OD，

∴BE=DF，

在△ABE和△CDF中，，

∴△ABE≌△CDF（SAS）.

（2）当AB=AC时，四边形EGCF是矩形；理由如下：

∵AC=2OA，AC=2AB，

∴AB=OA，

∵E是OB的中点，

∴AG⊥OB，

∴∠OEG=90°，

同理：CF⊥OD，

∴AG∥CF，

∴EG∥CF，

由（1）得：△ABE≌△CDF，

∴AE=CF，

∵EG=AE，

∴EG=CF，

∴四边形EGCF是平行四边形，

∵∠OEG=90°，

∴四边形EGCF是矩形．