Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，点A是x轴正半轴上的动点，点B是y轴正半轴上的动点，作射线AB，∠OAB的平分线与∠OBA的外角的平分线交于点C．
（1）当OA=OB时，∠C的度数是

45°

．
（2）当点A、B分别在x轴和y轴正半轴上移动时，∠C的大小是否变化？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先根据等腰直角三角形的性质求出∠OAB=∠OBA=45°，再由平角的定义得出∠DBO的度数，由角平分线的性质得出∠CAB与∠CBO的度数，再根据三角形内角和定理即可得出结论；
（2）设∠DBC=x，∠BAC=y，再根据BC平分∠DBO，AC平分∠BAO可知∠CBO=∠DBC=x，∠OAC=∠BAC=y．
再由∠DBO是△AOB的外角，∠DBC是△ABC的外角可得出关于x、y，∠C的方程组，求出∠C的值即可．

解答：解：（1）∵∠AOB=90°，OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∴∠DBO=180°-45°=135°，
∵点C是∠OAB的平分线与∠OBA的外角的平分线的交点，
∴∠CAB=

1

2

∠OAB=22.5°，∠CBO=

1

2

∠DBO=67.5°，
∴∠CAB+∠CBO+∠OAB=22.5°+67.5°+45°=135°，
∴∠C=180°-（∠CAB+∠CBO+∠OAB）=180°-135°=45°．
故答案为：45°；

（2）∠C的大小不变．
理由如下：
设∠DBC=x，∠BAC=y，
∵BC平分∠DBO，AC平分∠BAO．
∴∠CBO=∠DBC=x，∠OAC=∠BAC=y．
∵∠DBO是△AOB的外角，∠DBC是△ABC的外角，
∴

2x=90°+2y x=∠C+y

，
∴∠C=45°．

点评：本题考查的是三角形外角的性质，即三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和．