Question

10．如图，已知A₁、A₂、A₃、…、A_n、A_n+1是x轴上的点，且OA₁=A₁A₂=A₂A₃=…=A_nA_n+1=1，分别过点A₁、A₂、A₃、…、A_n、A_n+1作x轴的垂线交直线y=2x于点B₁、B₂、B₃、…、B_n、B_n+1，连接A₁B₂、B₁A₂、B₂A₃、…、A_nB_n+1、B_nA_n+1，依次相交于点P₁、P₂、P₃、…、P_n．△A₁B₁P₁、△A₂B₂P₂、△A_nB_nP_n的面积依次记为S₁、S₂、S₃、…、S_n，则S₂₀₁₆=$\frac{201{6}^{2}}{4033}$．

Answer 1

分析 根据图象上点的坐标性质得出点B₁、B₂、B₃、…、B_n、B_n+1各点坐标，进而利用相似三角形的判定与性质得出S₁、S₂、S₃、…、S_n，进而得出答案．

解答 解：∵A₁、A₂、A₃、…、A_n、A_n+1是x轴上的点，且OA₁=A₁A₂=A₂A₃=…=A_nA_n+1=1，
分别过点A₁、A₂、A₃、…、A_n、A_n+1作x轴的垂线交直线y=2x于点B₁、B₂、B₃、…、B_n、B_n+1，
∴B₁的横坐标为：1，纵坐标为：2，
∴B₁（1，2），
同理可得：B₂的横坐标为：2，纵坐标为：4，
则B₂（2，4），
B₃（3，6）…
∵A₁B₁∥A₂B₂，
∴△A₁B₁P₁∽△A₂B₂P₁，
∴$\frac{{A}_{1}{B}_{1}}{{A}_{2}{B}_{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴△A₁B₁C₁与△A₂B₂C₂对应高的比为1：2，
∴A₁B₁边上的高为：$\frac{1}{3}$，
∴S_△A1B1P1=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$×2=$\frac{1}{3}$，
同理可得出：S_△A2B2P2=$\frac{4}{5}$，S_△A3B3P3=$\frac{9}{7}$，
∴S_n=$\frac{{n}^{2}}{2n+1}$，
∴S₂₀₁₆=$\frac{201{6}^{2}}{2×2016+1}$=$\frac{201{6}^{2}}{4033}$，
故答案为：$\frac{201{6}^{2}}{4033}$．

点评 本题主要考查了一次函数函数图象上点的坐标特点，先根据题意得出B点坐标变化规律进而得出S的变化规律，得出图形面积变化规律是解题关键．