Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，三个交点的坐标分别为A（-1，0），B（3，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）若P为线段BD上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，求四边形PMAC面积的最大值和此时P点的坐标；
（3）若P为抛物线在第一象限上的一个动点，过点P作PQ∥AC交x轴于点Q．当点P的坐标为______时，四边形PQAC是平行四边形；当点P的坐标为______时，四边形PQAC是等腰梯形（直接写出结果，不写求解过程）．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，然后化为顶点式求出D点坐标；
（2）本问关键是求出四边形PMAC面积的表达式，这个表达式是关于P点横坐标的二次函数，再利用二次函数求极值的方法求出面积的最大值，并求出P点坐标；
（3）四边形PQAC为平行四边形或等腰梯形时，需要结合几何图形的性质求出P点坐标：
①当四边形PQAC为平行四边形时，如答图1所示．构造全等三角形求出P点的纵坐标，再利用P点与C点关于对称轴x=1对称的特点，求出P点的横坐标；
②当四边形PQAC为平行四边形时，如答图2所示．利用等腰梯形、平行四边形、全等三角形以及线段之间的三角函数关系，求出P点坐标．注意三角函数关系部分，也可以用相似三角形解决．
解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c过点C（0，3）
∴当x=0时，c=3．
又∵抛物线y=ax²+bx+c过点A（-1，0），B（3，0）
∴，解得
∴抛物线的解析式为：y=-x²+2x+3
又∵y=-x²+2x+3，y=-（x-1）²+4
∴顶点D的坐标是（1，4）．

（2）设直线BD的解析式为y=kx+n（k≠0）
∵直线y=kx+n过点B（3，0），D（1，4）
∴，解得
∴直线BD的解析式：y=-2x+6
∵P点在线段BD上，因此，设点P坐标为（m，-2m+6）
又∵PM⊥x轴于点M，∴PM=-2m+6，OM=m
又∵A（-1，0），C（0，3）∴OA=1，OC=3
设四边形PMAC面积为S，则
S=OA•OC+（PM+OC）•OM=×（-2m+6+3）•m
=-m²+m+=-（m-）²+
∵13
∴当m=时，四边形PMAC面积的最大值为
此时，P点坐标是（，）．

（3）答案：（2，3）；（，）．
******注：以下给出解题简要过程，原题并无此要求******
①四边形PQAC是平行四边形，如右图①所示．
过点P作PE⊥x轴于点E，易证△AOC≌△QEP，∴y_P=PE=CO=3．
又CP∥x轴，则点C（0，3）与点P关于对称轴x=1对称，∴x_P=2．
∴P（2，3）．
②四边形PQAC是等腰梯形，如右图②所示．
设P（m，n），P点在抛物线上，则有n=-m²+2m+3．
过P点作PE⊥x轴于点E，则PE=n．
在Rt△OAC中，OA=1，OC=3，∴AC=，tan∠CAO=3，cos∠CAO=；
∵PQ∥CA，∴tan∠PQE==tan∠CAO=3，
∴QE=n，PQ==n．
过点Q作QM∥PC，交AC于点M，则四边形PCMQ为平行四边形，△QAM为等腰三角形．再过点Q作QN⊥AC于点N．
则有：CM=PQ=n，AN=AM=（AC-CM）=（1-n），
AQ==5（1-n）．
又AQ=AO+OQ=1+（m-n），
∴5（1-n）=1+（m-n），化简得：n=3-m；
又P点在抛物线上，有n=-m²+2m+3，
∴-m²+2m+3=3-m，化简得：m²-m=0，解得m₁=0（舍去），m₂=
∴m=，n=3-m=，
∴P（，）．
点评：本题综合考查了诸多重要的知识点，包括：二次函数的图象与性质、待定系数法、二次函数的极值、图形面积的求法、等腰梯形、平行四边形、等腰三角形、三角函数（或相似三角形）等，涉及考点众多，有一定的难度．本题难点在于第（3）问等腰梯形的情形，注意该种情形下求点的坐标的方法．