题目内容

△ABC与△A′B′C′是两个直角边都等于4厘米的等腰直角三角形，M、N分别是直角边AC、BC的中点．△ABC位置固定，△A′B′C′按如图叠放，使斜边A′B′在直线MN上，顶点B′与点M重合．等腰直角△A′B′C′以1厘米/秒的速度沿直线MN向右平移，直到点A'与点N重合．设x秒时，△A′B′C′与△ABC重叠部分面积为y平方厘米．
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（1）当△A′B′C′与△ABC重叠部分面积为
3
2
2
平方厘米时，求△A′B′C′移动的时间；
（2）求y与x的函数关系式；
（3）求△A′B′C′与△ABC重叠部分面积的最大值．
分析：本题的关键是求出重合部分的面积与x的函数关系式，可分三种情况进行讨论：
①当B′在△ABC内部时，即当0≤x≤2
2
时，此时重合部分是平行四边形，以MB′为底，以AM•sin45°为高．据此可求出此时y，x的函数关系式．
②当A′，B′都在△ABC外部时，即当2
2
≤x≤4
2
时，此时重合部分是个六边形，可用△A′B′C′的面积-△A′ME的面积-△B′ND的面积-△GC′F的面积来求解．
③当A′在△ABC内部时，即当4
2
≤x≤6
2
时，此时重合部分是平行四边形，求法和①相同．
根据上述三种情况可得出三个不同的函数解析式，根据函数式即可求出当y为
3
2
2
平方厘米时x的值，以及y的最大值及对应的x的值．
解答：精英家教网解：（1）①如图1，当B′在△ABC内时，重叠部分是平行四边形，
由题意得：
2
x=
3
2
2
，
解得x=
3
2
．
②如图3，当A′在△ABC内时，重叠部分是平行四边形，
由题意得：A′N=6
2
-x，y=（6
2
-x）×
2
=
3
2
2
，
解得x=6
2
-
3
2
，
综上所述，当△A′B′C′与△ABC重叠部分面积为
3
2
2
平方厘米时，△A′B′C′移动的时间为
3
2
或（6
2
-
3
2
）秒．

（2）①如图1，当0≤x≤2
2
时y=
2
x，
精英家教网②如图2，当2
2
≤x≤4
2
时，如图，△DB′N，△A′ME，△C′FG是等腰直角三角形，
由B′N=x-2
2
，GF=MN=2
2
，A′M=4
2
-x，
则y=
1
2
×4×4-
1
2
×2×2-
1
4
×（x-2
2
）2-
1
4
（4
2
-x）2
即y=-
1
2
x2+3
2
x-4；
③如图3，当4
2
≤x≤6
2
时，A′M=x-4
2
，A′N=2
2
-x+4
2
=6
2
-x，
y=A′N×
2
=-
2
x+12．
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（3）①当0≤x≤2
2
时，最大值=4，
②当2
2
≤x≤4
2
时，最大值=5，
③当4
2
≤x≤6
2
时，最大值=4，
所以，△A′B′C′与△ABC重叠部分面积的最大值为5．
点评：本题主要考查了等腰直角三角形的性质、图形面积的求法以及一次函数与二次函数的综合应用等知识点．
练习册系列答案
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19、如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为
6
．
根据下列各组条件，△ABC与△A1B1C1相似的有（　　）
①∠A=45°，AB=12，AC=15，∠A1=45°，A1B1=16，A1C1=20
②AB=12，BC=15，AC=24，A1B1=20，A1C1=40，B1C1=25
③∠B=∠B1=75°，∠C=50°，∠A1=55°
④∠C=∠C1=90°，AB=10，AC=6，A1B1=15，A1C1=9
A、1个B、2个C、3个D、4个
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85°
85°
．

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