题目内容

如图，在直角坐标系中，正方形ABOD的边长为a，O为原点，点B在x轴的负半轴上，点D在y轴的正半轴上，直线OE的解析式为y=2x，直线CF过x轴上的一点C（ $数学公式$ ，0）且与OE平行，现正方形以每秒 $数学公式$ 的速度匀速沿x轴正方向平行移动，设运动时间为t秒，正方形被夹在直线OE和CF间的部分的面积为S．
（1）当0≤t＜4时，写出S与t的函数关系式；
（2）当4≤t≤5时，写出S与t的函数关系式，在这个范围内S有无最大值？若有，请求出最大值，若没有请说明理由．

解：（1）当0≤t＜4时，如图1，由图可知OM= $\text{[math]}$ ，
设经过t秒后，正方形移动到A₁B₁MN
∵当t=4时，BB₁=OM= $\text{[math]}$ ×4= $\text{[math]}$ a
∴点B₁在C点左侧
∴夹在两平行线间的部分是多边形COQNG，其面积为：
平行四边形COPG-△NPQ的面积．
∵CO= $\text{[math]}$ ，OD=a
∴四边形COPG面积= $\text{[math]}$ a²
又∵点P的纵坐标为a，代入y=2x得P（ $\text{[math]}$ ，a）
∴DP= $\text{[math]}$ ，NP= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ t
由y=2x知：NQ=2NP
∴△NPQ面积= $\text{[math]}$ •NP•NQ=（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ t）²
∴S= $\text{[math]}$ a²-（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ t）²= $\text{[math]}$ a²- $\text{[math]}$ （5-t）²= $\text{[math]}$ [60-（5-t）²]；

（2）当4≤t≤5时，如图2，这时正方形移动到A₁B₁MN

∵当4≤t≤5时， $\text{[math]}$ ≤BB₁≤ $\text{[math]}$ ，点B₁在C、O点之间
∴夹在两平行线间的部分是B₁OQNGR，
即平行四边形COPG被切掉了两个小三角形△NPQ和△CB₁R，其面积为：
平行四边形COPG的面积-△NPQ的面积-△CB₁R的面积
与（1）同理，OM= $\text{[math]}$ t，NP= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ t，S_△NPQ=（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ t）²，
∵CO= $\text{[math]}$ ，CM= $\text{[math]}$ a+ $\text{[math]}$ t，B₁M=a，
∴CB₁=CM-B₁M= $\text{[math]}$ a+ $\text{[math]}$ t-a= $\text{[math]}$ t- $\text{[math]}$ a，
∴S△CB₁R= $\text{[math]}$ CB₁•B₁R=（CB₁）²=（ $\text{[math]}$ t- $\text{[math]}$ a）2，
∴S= $\text{[math]}$ a²-（ $\text{[math]}$ a- $\text{[math]}$ t）²-（ $\text{[math]}$ t- $\text{[math]}$ a）²= $\text{[math]}$ a²- $\text{[math]}$ [2（t- $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$ ]，
∴当t= $\text{[math]}$ 时，S有最大值，Smax= $\text{[math]}$ a²．
分析：（1）易知BC= $\text{[math]}$ a，根据时间的取值范围和正方形的速度可知当0≤t＜4时，B位于C点左侧．那么重合部分的多边形的面积可用平行四边形的面积-△NPQ的面积来求解．可先求出P、C的坐标，然后根据△PNQ与△PDO相似，用相似比求出面积比，进而得出△PNQ的面积．然后按上面所说的多边形的面积计算方法得出S，t的函数关系式；
（2）当4≤t≤5时，重合部分可用平行四边形COPG的面积-△PNQ的面积-△CB1R的面积来求得．方法同（1），得出S，t的函数关系后，可根据函数的性质和自变量的取值范围求出S的最大值及对应的t的值．
点评：本题考查二次函数与相似三角形、平行四边形、正方形、图形的面积求法等知识的综合运用．