Question

如图，已知双曲线y=﹣与两直线y=﹣x，y=﹣kx（k＞0，且k≠）分别相交于A、B、C、D四点．

（1）当点C的坐标为（﹣1，1）时，A、B、D三点坐标分别是A（　 　，　 　），B（ 　，　　），D（　 　，　 　）．

（2）证明：以点A、D、B、C为顶点的四边形是平行四边形．

（3）当k为何值时，▱ADBC是矩形．

Answer 1

 

考点： 反比例函数综合题；两点间的距离公式；一次函数的应用；平行四边形的判定与性质；矩形的判定． 

专题： 综合题．

分析： （1）由C坐标，利用反比例函数的中心对称性确定出D坐标，联立双曲线y=﹣与直线y=﹣x，求出A与B坐标即可；

（2）由反比例函数为中心对称图形，利用中心对称性质得到OA=OB，OC=OD，利用对角线互相平分的四边形为平行四边形即可得证；

（3）由A与B坐标，利用两点间的距离公式求出AB的长，联立双曲线y=﹣与直线y=﹣kx，表示出CD的长，根据对角线相等的平行四边形为矩形，得到AB=CD，即可求出此时k的值．

解答： 解：（1）∵C（﹣1，1），C，D为双曲线y=﹣与直线y=﹣kx的两个交点，且双曲线y=﹣为中心对称图形，

∴D（1，﹣1），

联立得：，

消去y得：﹣x=﹣，即x²=4，

解得：x=2或x=﹣2，

当x=2时，y=﹣；当x=﹣2时，y=，

∴A（﹣2，），B（2，﹣）；

故答案为：﹣2，，2，﹣，1，﹣1；

 

（2）∵双曲线y=﹣为中心对称图形，且双曲线y=﹣与两直线y=﹣x，y=﹣kx（k＞0，且k≠）分别相交于A、B、C、D四点，

∴OA=OB，OC=OD，

则以点A、D、B、C为顶点的四边形是平行四边形；

 

（3）若▱ADBC是矩形，可得AB=CD，

联立得：，

消去y得：﹣=﹣kx，即x²=，

解得：x=或x=﹣，

当x=时，y=﹣；当x=﹣时，y=，

∴C（﹣，），D（，﹣），

∴CD==AB==，

整理得：（4k﹣1）（k﹣4）=0，

k₁=，k₂=4，

又∵k≠，∴k=4，

则当k=4时，▱ADBC是矩形．

点评： 此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，一次函数与反比例函数的交点，平行四边形，矩形的判定，两点间的距离公式，以及中心图形性质，熟练掌握性质是解本题的关键．