Question

如图，直线l：经过点M，一组抛物线的顶点B₁（1，y），B₂（2，y₂），B₃（3，y₃），…，B_n（n，y_n）（n为正整数）依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A₁（x₁，0），A₂（x₂，0），A₃（x₃，0），…A_n+1（x_n+1，0）（n为正整数），设x₁=d（0＜d＜1）．
（1）求经过点A₁、B₁、A₂的抛物线的解析式（用含d的代数式表示）；
（2）若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”，那么当d的大小在0＜d＜1范围内变化时，这组抛物线中是否存在美丽抛物线？若存在，请求出相应的d的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由题意得：y=x+，
∵B₁（1，y₁）在直线l上，
∴当x=1时，y₁=×1+=，
故可得B₁的坐标为（1，），
设抛物线表达式为：y=a（x-1）²+（a≠0），
又∵x₁=d，
∴A₁的坐标为（d，0），
∴0=a（d-1）²+，
∴a=-，
∴经过点A₁、B₁、A₂的抛物线的解析式为：y=-（x-1）²+．
（2）存在美丽抛物线．
由（1）可得B₁（1，），B₂（1，），
∵A₁（d，0），
∴A₂（2-d，0），
①若B₁为直角顶点，则A₁A₂的中点（1，0）到B₁的距离与到A₁和A₂的距离相等，
即：1-d=，
解得：d=；
②若B₂为直角顶点，则A₂A₃的中点（2，0）到B₂的距离与到A₃和A₂的距离相等，
即：2-（2-d）=，
解得：d=；
③若B₃为直角顶点，求出的d为负数，并且从B₃之后的B点，求出的d都为负数；
综上可得存在d，d的值为或．
分析：（1）把B₁（1，y₁）代入一次函数式，可求出y₁=，根据图象可知，经过A₁、B₁、A₂的二次函数的顶点就是B₁，故其对称轴就是x=1，那么可设函数解析式为：y=a（x-1）²+再把A₁的坐标代入函数式，可求出a的值，那么就可得到二次函数的解析式；
（2）根据抛物线的对称性，可知所得直角三角形必是等腰直角三角形，斜边上的高等于斜边的一半，先求出A₁、A₂、B₁、B₂…的坐标，若B₁为直角顶点，则A₁A₂的中点（1，0）到B₁的距离与到A₁和A₂的距离相等，求出d的值；同理：若B₂为直角顶点，求出d的值；若B₃为直角顶点，求出的d值是负数（舍去）；总结上述结果即可得出答案．
点评：本题属于二次函数综合题，涉及了二次函数图象上点的坐标特征，直角三角形斜边上的中线等知识点，解此题的关键是进行分类讨论，此题综合性强，难度较大．