Question

【题目】如图，设D为锐角△ABC内一点，∠ADB=∠ACB+90°，过点B作BE⊥BD，BE=BD，连接EC．

（1）求∠CAD+∠CBD的度数；

（2）若，

①求证：△ACD∽△BCE；

②求的值．

Answer 1

【答案】（1）90°；（2）①见解析；②

【解析】

（1）根据三角形外角的性质进行解答即可；

（2）①根据两边成比例且夹角相等即可证明△ACD∽△BCE；

②先根据等腰直角三角形的性质得：，证明△ACB∽△DCE，得，代入所求的式子可得结论.

（1）解：如图1，延长CD交AB于F，

∵∠ADF＝∠CAD+∠ACD，∠BDF＝∠CBD+∠BCD，

∴∠ADB＝∠ADF+∠BDF＝∠CAD+∠CBD+∠ACB，

∵∠ADB＝∠ACB+90°．

∴∠CAD+∠CBD＝90°；

（2）①证明：如图2，∵∠CAD+∠CBD＝90°，∠CBD+∠CBE＝90°，

∴∠CAD＝∠CBE，

∵ACBD＝ADBC，BE=BD,

∴，

∴△ACD∽△BCE；

②解：如图2，连接DE，

∵BE⊥BD，BE＝BD，

∴△BDE是等腰直角三角形，

∴

∵△ACD∽△BCE，

∴∠ACD＝∠BCE，,

∴∠ACB＝∠DCE，

∴△ACB∽△DCE，

∴，

∴