Question

【题目】如图，是的直径，弦于点；点是延长线上一点，，．

（1）求证：是的切线；

（2）取的中点，连接，若的半径为2，求的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）连接OE，OF，由垂径定理和圆周角定理得到∠DOF＝∠DOE．而∠DOE＝2∠A，得出∠DOF＝2∠A，证出∠OFD＝90°．即可得出结论；

（2）连接OM，由垂径定理和勾股定理进行计算即可．

（1）连接OE，OF，如图1所示：

∵EF⊥AB，AB是⊙O的直径，

∴，

∴∠DOF＝∠DOE，

∵∠DOE＝2∠A，∠A＝30°，

∴∠DOF＝60°，

∵∠D＝30°，

∴∠OFD＝90°．

∴OF⊥FD．

∴FD为⊙O的切线；

（2）连接OM．如图2所示：

∵O是AB中点，M是BE中点，

∴OM∥AE．

∴∠MOB＝∠A＝30°．

∵OM过圆心，M是BE中点，

∴OM⊥BE．

∴MB＝OB＝1，OM＝=．

∵∠DOF＝60°，

∴∠MOF＝90°．

∴MF＝．