Question

（1）如图（1）P为⊙O上一个动点，AB=2，∠APB=30°，当P在哪个位置时，P到AB距离最大？请在图（1）中画出点P的位置和表示最大距离的线段PM，此时PM=

 

；
（2）如图（2），以图（1）中的AB为边，向⊙O外作等边△ABC，连接PC，求PC的最大值；
（3）如图（3）∠P=30°，等腰梯形ABCD的上底AB=2，A、B两点在∠P的两边上滑动，∠C=60°AD=4，连接DP，则DP的最小值为

 

．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：（1）当点P为优弧AB的中点时，P点到AB的距离最大，如图1，作PM⊥AB于M，根据垂径定理的推理得到PM过点O，AM=BM，再判断△OAB为等边三角形，所以OA=OB=AB=2，∠AOM=30°，则可利用含30度的直角三角形三边的关系得到AM，OM，则即可得到PM的长；
（2）当点P为优弧AB的中点时，CP最长，如图2，作PM⊥AB于M，点P′是优弧AB上异于点P的任意一点，连接OP′，利用三角形三边的关系可证明PC＞P′C，
由（1）得PM=2+

3

，且AM=BM，再由△ABC为等边三角形得到CM⊥AB，CM=OM=

3

，于是可判断点M在PC上，于是利用PC=PM+MC求解；
（3）作△PAB的外接圆⊙O，如图3，连接OD交⊙O于P，此时DP的值最小，作BH⊥CD于H，OM⊥AM于M，交CD于N，由（1）可得OA=2，OM=

3

，AM=BM，根据等腰梯形的性质得BC=AD=4，在Rt△BCH中可计算出CH，BH，则可得到MN与BH，再计算出CN，于是得到ON=MN-OM=

3

，DN=CN=3，然后在Rt△DON中利用勾股定理计算出OD，然后利用DP=OD-OP求解．

解答：解：（1）当点P为优弧AB的中点时，P点到AB的距离最大，如图1，
作PM⊥AB于M，
∵弧PA=弧PB，PM⊥AB，
∴PM过点O，AM=BM，
∴∠AOB=2∠APB=2×30°=60°，
∴△OAB为等边三角形，
∴OA=OB=AB=2，
∵∠AOM=

1

2

∠AOB=30°，
∴AM=

1

2

OA=1，OM=

3

AM=

3

，
∴PM=OP+PM=2+

3

．
故答案为2+

3

；
（2）当点P为优弧AB的中点时，PC最长，如图2，作PM⊥AB于M，
点P′是优弧AB上异于点P的任意一点，连接OP′，
∵OP′+OC＞P′C，
而OP=OP′，
∴PC＞P′C，
由（1）得PM=2+

3

，且AM=BM，
∵△ABC为等边三角形，
∴CM⊥AB，CM=OM=

3

，
∴点M在PC上，
∴PC=PM+MC=2+

3

+

3

=2+2

3

；
（3）作△PAB的外接圆⊙O，如图3，
连接OD交⊙O于P，此时DP的值最小，
作BH⊥CD于H，OM⊥AM于M，交CD于N，
由（1）可得OA=2，OM=

3

，AM=BM，
∵梯形ABCD为等腰梯形，
∴BC=AD=4，
在Rt△BCH中，∠C=60°，
∴∠CBH=30°，
∴CH=

1

2

BC=2，BH=

3

CH=2

3

，
∴MN=BH=2

3

，CN=NH+CH=BM+CH=1+2=3，
∴ON=MN-OM=

3

，DN=CN=3，
在Rt△DON中，OD=

ON2+DN2

=2

3

，
∴DP=OD-OP=2

3

-2．
故答案为2

3

-2．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理、圆周角定理、等边三角形的判定与性质和等腰梯形的性质；会根据勾股定理和含30度的直角三角形三边的关系进行几何计算．